1.1 Importancia
de la ingeniería económica.
1.1.1 La ingeniería
económica en la toma de decisiones.
Los métodos y técnicas
de la ingeniería económica ayudan a muchas personas a tomar decisiones. Como
estas decisiones influyen en lo que posteriormente se hará en el marco de
referencia temporal de esta ingeniería será el futuro, por lo tanto los
números conforman las mejores estimaciones de lo que se espera que suceda.
Estas estimaciones están conformadas por tres elementos fundamentales: flujo
de efectivo, tasa de interés y su tiempo de ocurrencia.
Los pasos en los
procesos de la toma de decisiones son los siguientes:
1. Compresión del problema y definición del objetivo.
2. Reunión de datos importantes.
3. Selección de posibles respuestas alternativas.
4. Identificación de criterios para la toma de decisiones empleando uno
o varios atributos.
5. Valoración de las opciones existente.
6. Elección de la opción más óptima y adecuada
7. Implantar el resultado.
8. Vigilar todos los resultados.
Un estudio de
ingeniería económica se realiza utilizando un procedimiento estructurado y
diversas técnicas de modelado matemático. Después, los resultados económicos
se usan en una situación de toma de decisiones que implica dos o más
alternativas que por lo general incluye otra clase de información y
conocimiento de ingeniería.
Ø
La ingeniería económica tiene un papel importante en reunir
información relevante, definir las soluciones alternativas y seleccionar la
mejor alternativa utilizando algunos criterios; es la técnica principal para
realizar el análisis de tipo económico de cada alternativa. Se establecen las
alternativas y la ingeniería económica ayuda a estructurar las estimaciones
de cada uno. La ingeniería económica da el análisis económico sobre el cual
se toma una decisión.
1.1.2 Tasa de interés
y tasa de rendimiento.
Una tasa de rendimiento
es el porcentaje de ganancia (o pérdida) que arroja un determinado negocio o
proyecto medido contra la Inversión realizada.
Matemáticamente:
Tasa de rendimiento = Ganancia / Inversión
Por otro lado, la tasa
de interés es el costo que se cobra por prestar o tomar prestado un
determinado capital.
Matemáticamente:
Tasa de interés =Intereses / Capital prestado
Ø Tasa de rendimiento es
cuando alguna empresa financiera o banco o incluso algún particular te paga
un monto de ganancia porque le prestaste tu dinero o lo metiste a inversión,
es decir es el monto que ganaste por la inversión de tu capital.
Tasa de interés es el
monto que pagas por recibir un préstamo de dinero a un determinado tiempo, es
decir cuando pides prestado es la diferencia entre lo que te prestaron y el
monto final que pagas.
1.1.3 Introducción a las soluciones por
computadora.
La solución de un
problema por computadora, requiere de siete pasos, dispuestos de tal forma
que cada uno es dependiente de los anteriores, lo cual indica que se trata de
un proceso complementario y por lo tanto cada paso exige el mismo cuidado en
su elaboración. Los siete pasos de la metodología son los siguientes:
·
Definición del problema
·
Análisis de la solución
·
Diseño de la solución
·
Codificación
·
Prueba y Depuración
·
Documentación
·
Mantenimiento
Definición del
problema.
Es el enunciado del
problema, el cual debe ser claro y completo. Es fundamental conocer y
delimitar por completo el problema, saber que es lo se desea realice la
computadora, mientras esto no se conozca del todo, no tiene caso continuar
con el siguiente paso.
Análisis de la
solución.
Consiste en establecer
una serie de preguntas acerca de lo que establece el problema, para poder
determinar si se cuenta con los elementos suficientes para llevar a cabo la
solución del mismo.
Diseño de la
solución.
Una vez definido y
analizado el problema, se procede a la creación del algoritmo (Diagrama de
flujo ó pseudocódigo), en el cual se da la serie de pasos ordenados que nos
proporcione un método explícito para la solución del problema.
Codificación.
Consiste en escribir la
solución del problema (de acuerdo al pseudocódigo); en una serie de
instrucciones detalladas en un código reconocible por la computadora; es
decir en un lenguaje de programación (ya sea de bajo o alto nivel), a esta
serie de instrucciones se le conoce como programa.
Prueba y Depuración.
Prueba es el proceso de
identificar los errores que se presenten durante la ejecución del programa;
es conveniente que cuando se pruebe un programa se tomen en cuenta los
siguientes puntos:
·
Tratar de iniciar la prueba con una
mentalidad saboteadora, casi disfrutando la tarea de encontrar un error.
·
Sospechar de todos los resultados que arroje
la solución, con lo cual se deberán verificar todos.
·
Considerar todas las situaciones posibles,
normales y aún las anormales.
La Depuración consiste
en eliminar los errores que se hayan detectado durante la prueba, para dar
paso a una solución adecuada y sin errores.
Documentación.
Es la guía o
comunicación escrita que sirve como ayuda para usar un programa, o facilitar
futuras modificaciones. A menudo un programa escrito por una persona es usado
por muchas otras, por ello la documentación es muy importante; ésta debe
presentarse en tres formas: EXTERNA, INTERNA y AL USUARIO FINAL.
Mantenimiento.
Se lleva a cabo después
de determinado el programa, cuando se ha estado trabajando un tiempo, y se detecta
que es necesario hacer un cambio, ajuste y/o complementación al programa para
que siga trabajando de manera correcta.
Para realizar esta
función, el programa debe estar debida mente documentado, lo cual facilitará
la tarea. Estoy invitando a todos los maestros y profesionales de esta área
y/o carrera a colaborar construyendo este sitio dedicado a esta hermosa y
útil profesión aportando el material apropiado a cada uno de los más de 1,000
temas que lo componen.
Ø
La ingeniería en la actualidad no se limita a la solución de problemas
en sus correspondientes campos del conocimiento, sino que toma en
consideración todas las variables que pueden afectar la aplicación de las
soluciones y el desarrollo de proyectos.
Una de estas
variables es la economía y los costos, lo que puede cambiar las tomas de
decisión o la forma en la que se deben plantear las soluciones, por esto se
considera necesario que los ingenieros estén consientes de la importancia de
esta rama de la ingeniería la que cada día adquiere mayor importancia.
1.1.4 Flujos de efectivo: estimación y
diagramación.
El propósito básico de
la estimación de los flujos de efectivo es proporcionar información sobre los
ingresos y pagos efectivos de una entidad comercial durante un período
contable. Además, pretende proporcionar información acerca de todas las
actividades de inversión y financiación de la empresa durante el período.
Así, un estado de flujo
de efectivo debe ayudar a los inversionistas, acreedores y otros usuarios en
la evaluación de aspectos tales como:
a) La capacidad de la empresa para generar flujo efectivo positivo en
períodos futuros.
b) La capacidad de la empresa para cumplir con sus obligaciones.
c) Razones para explicar diferencias entre el valor de la utilidad neta y
el flujo de efectivo neto relacionado con la operación.
d) Tanto el efectivo como las transacciones de inversión de financiación
que no hacen uso de efectivo durante el período.
Las empresas muestran
por separado los flujos de efectivos relacionados con actividades de
operación, de inversión y de financiación.
Los flujos efectivos
relacionados con las actividades de inversión incluyen:
·
Ingresos de efectivo :
·
Efectivo producto de la venta de inversiones
o activo fijo.
·
Efectivo producto del recaudo de valores
sobre préstamos.
·
Pagos efectivo :
·
Pagos para adquirir inversiones y activos
fijos.
·
Valores anticipados a prestatarios.
Los flujos efectivos
clasificados como actividades de financiación, incluyen:
·
Ingreso de efectivo :
·
Productos de préstamos obtenidos a corto y
largo plazo.
·
Efectivos recibidos de propietarios
(ejemplo, por emisión de acciones).
·
Pagos de efectivo :
·
Pagos de valores prestados (excluye pagos de
intereses).
·
Pagos a propietarios, como dividendos en efectivo.
Ø
Los flujos efectivos clasificados como actividades de financiación,
incluyen: Ingreso de efectivo:
Productos de
préstamos obtenidos a corto y largo plazo.
Efectivos recibidos
de propietarios (ejemplo, por emisión de acciones).
Generalmente el
diagrama de flujo de efectivo se representa gráficamente por flechas hacia
arriba que indican un ingreso y flechas hacia abajo que indican un egreso.
Estas flechas se
dibujan en una recta horizontal cuya longitud representa la escala total de
tiempo del estudio que se esté haciendo. Esta recta se divide en los periodos
de interés del estudio, la duración de estos periodos debe ser la misma que
el periodo en el cual se aplica la tasa de interés.
1.2 El
valor del dinero a través del tiempo.
1.2.1 Interés simple
e interés compuesto.
El interés simple, es
pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia,
el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es
decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por
cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.
Interés simple, es
también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a
la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de
transacción comercial.
Interés simple. Es la
cantidad que resulta de multiplicar la cantidad de dinero prestada por la
vida del préstamo y por la tasa de interés.
Formula
I=niP
Donde:
I = Cantidad total de Interés Simple
n = Periodo del préstamo (tiempo) o (vida del préstamo)
i = Tasa de interés (expresada en decimal)
P = Principal (cantidad de dinero prestada)
El concepto y la
fórmula general del interés compuesto es una potente herramienta en el
análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero.
El interés compuesto es
fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del
interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la
capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre
la base inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es
decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo
capital.
Para el interés
compuesto, el interés acumulado para cada periodo de interés se calcula sobre
el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos
anteriores. Por lo tanto, el interés compuesto significa un interés sobre el
interés, es decir, refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo
también sobre el interés.
El interés compuesto
para un periodo de tiempo se calcula:
Interés = (principal + todo el interés causado) (tasa de interés)
Ø
El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece
invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario
de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no
es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma
base.
El interés compuesto
es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación
del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la
capitalización del dinero en el tiempo.
1.2.2 Concepto de equivalencia.
Es un concepto de mucha
importancia en el ámbito financiero; utilizado como modelo para simplificar
aspectos de la realidad.
Dos sumas son
equivalentes (no iguales), cuando resulta indiferente recibir una suma de
dinero hoy (VA - valor actual) y recibir otra diferente (VF - valor futuro)
de mayor cantidad transcurrido un período; expresamos este concepto con la
fórmula general del interés compuesto:
Fundamental en el
análisis y evaluación financiera, esta fórmula, es la base de todo lo
conocido como Matemáticas Financieras.
Ø
El concepto de equivalencia ha estado, desde siempre, presente en el
trabajo de los investigadores de los estudios sobre la traducción. Muchos de
ellos entienden el concepto de equivalencia de formas distintas, y pueden o
no estar de acuerdo con el uso de dicho término.
1.2.3 Factores de pago único.
Factor de cantidad
compuesta de un pago único:
F/P = ( 1 + i )n → ( F/P, i%, n
)
Factor de Valor
Presente de un Pago Único
P/F = (F/P) −1 = (1 + i ) − n → ( P/F, i%,
n)
Para esta condición
debemos satisfacer dos requisitos:
1) Debe utilizarse la
tasa periódica para i, y
2) las unidades no
deben ser las mismas que aquéllas en i. Luego, las ecuaciones de pago único
pueden generalizarse de la siguiente forma:
VA = VF (VA/VF), i
periódica, número de períodos
VF = VA (VF/VA), i
periódica, número de períodos
Así, para la tasa de
interés del 18% anual compuesto mensualmente, podemos utilizar variedad de
valores para i y los valores correspondientes de n como indicamos a
continuación con algunos ejemplos:
Tasa de interés
efectiva i Unidades para n
1.5% mensual Meses
4.57% trimestral Trimestres
9.34% semestral Semestral
19.56% anual Años
42.95% cada 2 años Período de dos años
70.91% cada 3 años Período de tres años
1.2.4 Factores de Valor Presente y recuperación
de capital.
Cuando utilizamos uno o
más factores de serie uniforme o gradiente, debemos determinar la relación
entre el período de capitalización, PC, y el período de pago, PP. Encontramos
esta relación en cada uno de los 3 casos:
·
El período de pago es igual al período de capitalización, PP = PC
·
El período de pago es mayor que el período de capitalización, PP >
PC
·
El período de pago es menor que el período de capitalización, PP <
PC
Para los dos primeros
casos PP = PC y PP > PC, debemos:
a) Contar el número de pagos y utilizar este valor como n. Por ejemplo,
para pagos semestrales durante 8 años, n = 16 semestres.
b) Debemos encontrar la tasa de interés efectiva durante el mismo período
que n en (a).
c) Operar en las fórmulas de los tres grupos de problemas sólo con los
valores de n e i.
Factor de Valor
Presente de una Serie Uniforme
P/A = (A/P) −1 = 1 − (1 + i ) – n/ i = (1 +
i ) n −1 / i (1 + i ) n → (P/A, i%, n)
Factor de Recuperación
de Capital de una Serie Uniforme
A/P = i/ 1 − (1 + i ) –n = i (1 + i ) n / (1
+ i ) n – 1 → ( A/P, i%, n)
1.2.5 Factor de fondo de amortización y cantidad
compuesta.
Factor de Fondo de
Amortización de una Serie Uniforme i
A/F
= (F/A) −1 = i / (1 + i ) n – 1→ ( A/F, i%, n)
Factor de Cantidad
Compuesta de Una Serie Uniforme
F/A
= (1 + i ) n – 1/ i → ( F/A, i%, n)
Cuando un activo tiene
un valor de salvamento terminal (VS), hay muchas formas de calcular el VA.
En el método del fondo
de amortización de salvamento, el costo inicial P se convierte primero en una
cantidad anual uniforme equivalente utilizando el factor A/P. Dado
normalmente, su carácter de flujo de efectivo positivo, después de su
conversión a una cantidad uniforme equivalente a través del factor A/F, el
valor de salvamento se agrega al equivalente anual del costo inicial.
Estos cálculos pueden
estar representados por la ecuación general:
VA = -P(A/P,i,n) +
VS(A/F,i,n) ; naturalmente, si la alternativa tiene cualquier otro flujo de
efectivo, éste debe ser incluido en el cálculo completo de VA.
1.3 Frecuencia
de capitalización de interés.
1.3.1 Tasa de interés
nominal y efectiva.
Tasa Nominal
La tasa nominal es el
interés que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa convencional o de
referencia lo fija el Banco Federal o Banco Central de un país para regular
las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y
ahorros) del sistema financiero. Es una tasa de interés simple.
Siendo la tasa nominal un
límite para ambas operaciones y como su empleo es anual resulta equivalente
decir tasa nominal o tasa nominal anual. La ecuación de la tasa nominal es:
j = tasa de interés por período x número de períodos
Tasa de interés
Efectiva
Tasa de interés
efectiva ( i ) es la tasa que corresponde al periodo real de interés . Se
obtiene dividiendo la tasa nominal ( r ) entre ( m ) que representa el número
de períodos de interés por año:
i= r / m
La tasa efectiva es
aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización
del interés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa
efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa globalmente el pago de
intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la
operación financiera implique. La tasa efectiva es una función exponencial de
la tasa periódica.
1.3.2 Cuando los periodos de interés coinciden
con los periodos de pago.
Cuando los periodos de
interés y los periodos de pago coinciden, es posible usar enforna directa
tanto las fórmulas de interés compuesto desarrolladas anteriormente, así como
las tablas de interés compuesto que se encuentran en todos los libros de
Ingeniería Económica, siempre que la tasa de interés i se tome como la tasa
de interés efectiva para ese periodo de interés. Aún más, el número de años n
debe remplazarse por el número total de periodos de interés mn.
Las fórmulas del
interés continuo simplifican frecuentemente la solución de modelos
matemáticos complejos. En todas las fórmulas anteriores hemos utilizado el
convenio de fin de período para pagos globales a interés discreto. A partir
de ahora, en la solución de los ejemplos y/o ejercicios utilizaremos
cualquiera de estos dos métodos según el requerimiento de cada caso.
Cuando el interés
capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito, la fórmula puede
escribirse de forma diferente. Pero antes es necesario, definir el valor de
la constante de Neper (e) o logaritmo natural que viene pre programada en la
mayoría de calculadoras representado por ex.
1.3.3 Cuando los periodos de interés son menores
que los periodos de pago.
Cuando los periodos de
interés son menores que los periodos de pago, entonces el interés puede
capitalizarse varias veces entre los pagos. Una manera de resolver problemas
de este tipo es determinar la tasa de interés efectiva para los periodos de interés
dados y después analizar los pagos por separado.
Esta parte corresponde
a la relación 3, de la sección 2.3.2. Caso en que el período de pago es menor
al período de capitalización (PP < PC). El cálculo del valor actual o
futuro depende de las condiciones establecidas para la capitalización entre
períodos. Específicamente nos referimos al manejo de los pagos efectuados
entre los períodos de capitalización. Esto puede conducir a tres
posibilidades:
1
No pagamos intereses sobre el dinero
depositado (o retirado) entre los períodos de capitalización.
2
Los abonos (o retiros) de dinero entre los
períodos de capitalización ganan interés simple.
3
Finalmente, todas las operaciones entre los
períodos ganan interés compuesto.
De las tres posibilidades
la primera corresponde al mundo real de los negocios. Esto quiere decir,
sobre cualquier dinero depositado o retirado entre los períodos de
capitalización no pagamos intereses, en consecuencia estos retiros o
depósitos corresponden al principio o al final del período de capitalización.
Esta es la forma en que operan las instituciones del sistema financiero y
muchas empresas de crédito.
1.3.4 Cuando los periodos de interés son mayores
que los periodos de pago.
Si los periodos de
interés son mayores que los periodos de pago, puede ocurrir que algunos pagos
no hayan quedado en depósito durante un periodo de interés completo. Estos
pagos no ganan interés durante ese periodo. En otras palabras, sólo ganan
interés aquellos pagos que han sido depositados o invertidos durante un
periodo de interés completo. Las situaciones de este tipo pueden manejarse
según el siguiente algoritmo:
·
Considérense todos los depósitos hechos
durante el periodo de interés como si se hubieran hecho al final del periodo (por
lo tanto no habrán ganado interés en ese periodo)
·
Considérese que los retiros hechos durante
el periodo de interés se hicieron al principio del periodo (de nuevo sin
ganar interés)
·
Después procédase como si los periodos de
pago y de interés coincidieran.
En los casos en que el
período de capitalización de un préstamo o inversión no coincide con el de
pago, necesariamente debemos manipular adecuadamente la tasa de interés y/o
el pago al objeto de establecer la cantidad correcta de dinero acumulado o
pagado en diversos momentos. Cuando no hay coincidencia entre los períodos de
capitalización y pago no es posible utilizar las tablas de interés en tanto
efectuemos las correcciones respectivas.
Si consideramos como
ejemplo, que el período de pago (un año) es igual o mayor que el período de
capitalización (un mes); pueden darse dos condiciones:
1
Que en los flujos de efectivo debemos de
utilizar los factores del 1º Grupo de problemas factores de pago único
(VA/VF, VF/VA).
2
Que en los flujos de efectivo debemos de
utilizar series uniformes (2º y 3º Grupo de problemas) o factores de
gradientes.
1.3.5 Tasa de interés efectiva para
capitalización continúa.
Podemos definir que la
capitalización continua es el caso límite de la situación de capitalización
múltiple de cuando los periodos de interés son menores que los periodos de
pago. Al fijar la tasa de interés nominal anual como r y haciendo que el
número de periodos de interés tienda a infinito, mientras que la duración de
cada periodo de interés se vuelve infinitamente pequeña.
De la ecuación
i = (1 + r / m ) m − 1
Se obtiene la tasa de
interés efectiva anual con capitalización continua
A medida que el periodo
de capitalización disminuye el valor de m, número de periodos de
capitalización por periodo de interés, aumenta. Cuando el interés se
capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito.
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